☎️学总结
$$
\ce{O^{a-} + {$n$}e- -> R^{(n+a)-}}
$$
核心是将单个电极看做一个原件，并研究其伏安曲线。我们统一定义电极电势：
$$
E=\phi_{电极}-\phi_{溶液}
$$
因此正电流从电极流向溶液（也就是反应反向进行）
假设溶液非常理想，超级均匀，传质超快。可以简单算出反应相关能量
：
$$
\begin{align}
\Delta G&=\Delta G_{0}+nFE \\
\Delta G^{\ddagger}_{-}&=\Delta G_{-,0}^{\ddagger}+\alpha nFE\\
\Delta G^{\ddagger}_{+}&=\Delta G^{\ddagger}_{-,0}-\Delta G \\
&=\Delta G_{-,0}^{\ddagger}-\Delta G_{0}-(1-\alpha) nFE
\end{align}
$$
则两向电流
$$
\begin{align}
j_{-}&=nA_{-}[\ce O]\exp\left( -\frac{\Delta G_{-,0}^{\ddagger}+\alpha nFE}{RT} \right) \\
j_{+}&=nA_{+}[\ce R]\exp\left( -\frac{\Delta G_{{-,0}}^{\ddagger}-\Delta G_0-(1-\alpha) nFE}{RT} \right)
\end{align}
$$
我们定义一个标准电势 $E_{0}$，即 $[\ce O]=[\ce R]=1$（假设是活度）时，让 $j_{+}=j_{{-}}=j_{0}$ 的电势，则可以通过相对量减少大量变量：
$$
\begin{align}
j_{-}&=j_{0}[\ce O]\exp\left( -\frac{\alpha nF(E-E_{0})}{RT} \right) \\
j_{+}&=j_{0}[\ce R]\exp\left( \frac{(1-\alpha) nF(E-E_{0})}{RT} \right)
\end{align}
$$
且：
$$
\begin{align}
j&=j_{+}-j_{-}\\
&=j_{0}\left[ [\ce O]\exp\left( -\frac{\alpha nF(E-E_{0})}{RT} \right)-[\ce R]\exp\left( \frac{(1-\alpha) nF(E-E_{0})}{RT} \right) \right]
\end{align}
$$
恭喜你，获得了不考虑传质的电极的伏安曲线（Butler–Volmer 方程）！
我们显然想知道电流零点对应的电压是多少：
$$ [\ce O]\exp\left( -\frac{\alpha nF(E-E_{0})}{RT} \right)=[\ce R]\exp\left( \frac{(1-\alpha)nF(E-E_{0})}{RT} \right) $$
解出来：
$$ E=E_{0}+\frac{RT}{nF}\ln\frac{[\ce O]}{[\ce R]} $$
接着我们假设反应超快，也就是理想的去极化电极。但传质没那没快了，而且传质方式只有一维扩散。
我们的 Fick 定律来了：
$$
\begin{align}
\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}&=D \frac{\partial^{2}c(x,t)}{\partial x^{2}}+非电极反应 \\
\frac{\partial c_{\ce O}(0,t)}{\partial t}&=j=-\frac{\partial c_{\ce R}(0,t)}{\partial t}
\end{align}
$$
起始条件（假设体系无限大）：
$$
\begin{align}
c(x,0)&=c_{0} \\
\lim_{ x \to \infty } c(x,t)&=c_{0}
\end{align}
$$
解就完了。